Сопротивление куба. Решение задач на расчет электрического сопротивления с помощью моделей Эквивалентное сопротивление полого медного куба с

Рассмотрим классическую задачу. Дан куб, рёбра которого представляют собой проводники с каким-то одинаковым сопротивлением. Этот куб включается в электрическую цепь между всевозможными его точками. Вопрос: чему равно сопротивление куба в каждом из этих случаев? В данной статье репетитор по физике и математике рассказывает о том, как решается эта классическая задача. Присутствует также видеоурок, в котором вы найдёте не только подробное объяснение решения задачи, но и реальную физическую демонстрацию, подтверждающую все вычисления.

Итак, куб может быть включен в цепь тремя различными способами.

Сопротивление куба между противоположными вершинами

В этом случае ток, дойдя до точки A , распределяется между тремя рёбрами куба. При этом, поскольку все три ребра эквивалентны с точки зрения симметрии, ни одному из рёбер нельзя придать большую или меньшую «значимость». Поэтому ток между этими рёбрами должен распределиться обязательно поровну. То есть сила тока в каждом ребре равна :

В результате получается, что падение напряжения на каждом из этих трёх рёбер одинаково и равно , где — сопротивление каждого ребра. Но падение напряжение между двумя точками равно разности потенциалов между этими точками. То есть потенциалы точек C , D и E одинаковы и равены . Из соображений симметрии потенциалы точек F , G и K также одинаковы.

Точки с одинаковым потенциалом можно соединять проводниками. Это ничего не изменит, потому что по этим проводникам всё равно не потечёт никакой ток:

В результате получим, что рёбра AC , AD и AE T . Точно также рёбра FB , GB и KB соединятся в одной точке. Назовём её точкой M . Что касается оставшихся 6 рёбер, то все их «начала» окажутся соединены в точке T , а все концы — в точке M . В результате мы получим следующую эквивалентную схему:

Сопротивление куба между противолежащими углами одной грани

В данном случае эквивалентными являются рёбра AD и AC . По ним потечёт одинаковый ток . Кроме того, эквивалентными также являются KE и KF . По ним потечёт одинаковый ток . Ещё раз повторим, что ток между эквивалентными рёбрами должен распределиться поровну, в противном случае нарушится симметрия:

Таким образом, в данном случае одинаковым потенциалом обладают точки C и D , а также точки E и F . Значит эти точки можно объединить. Пусть точки C и D объединятся в точке M , а точки E и F — в точке T . Тогда получится следующая эквивалентная схема:

На вертикальном участке (непосредственно между точками T и M ) ток не течёт. Действительно, ситуация аналогична уравновешенному измерительному мосту . Это означает, что данной звено можно исключить из цепи. После этого посчитать общее сопротивление не составит труда:

Сопротивление верхнего звена равно , нижнего — . Тогда общее сопротивление равно:

Сопротивление куба между прилежащими вершинами одной грани

Это последний возможный вариант подключения куба в электрическую цепь. В этом случае эквивалентными рёбрами, через которые будет течь одинаковый ток, являются рёбра AC и AD . И, соответственно, одинаковые потенциалы будут иметь точки C и D , а также симметричные им точки E и F :

Вновь соединяем попарно точки с одинаковыми потенциалами. Мы можем это сделать, потому что ток между этими точками не потечёт, даже если соединить их проводником. Пусть точки C и D объединятся в точку T , а точки E и F — в точку M . Тогда можно нарисовать следующую эквивалентную схему:

Общее сопротивление полученной схемы рассчитывается стандартными способами. Каждый сегмент из двух параллельно соединённых резисторов заменяем на резистор сопротивлением . Тогда сопротивление «верхнего» сегмента, состоящего из последовательно соединённых резисторов , и , равно .

Этот сегмент соединён со «средним» сегментом, состоящим из одного резистора сопротивлением , параллельно. Сопротивление цепи, состоящей из двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и , равно:

То есть схема упрощается до ещё более простого вида:

Как видно, сопротивление «верхнего» П-образного сегмента равно:

Ну а общее сопротивление двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и равно:

Эксперимент на измерению сопротивления куба

Чтобы показать, что всё это не математический трюк и что за всеми этими вычислениями стоит реальная физика, я решил провести прямой физической эксперимент по измерению сопротивления куба. Вы можете посмотреть этот эксперимент в видео, которые находится в начале статьи. Здесь я размещу фотографии экспериментальной установки.

Специально для этого эксперимента я спаял куб, рёбрами которого являются одинаковые резисторы. Также у меня есть мультиметр, который я включил в режиме измерения сопротивления. Сопротивление одиночного резистора равно 38.3 кОм:

Для развития творческих способностей учащихся представляют интерес задачи на решение резисторных схем постоянного тока методом равнопотенциальных узлов. Решение этих задач сопровождается последовательным преобразованием исходной схемы. Причём наибольшее изменение она претерпевает после первого шага, когда используется данный метод. Дальнейшие преобразования связаны с эквивалентной заменой последовательных или параллельных резисторов.

Для преобразования цепи пользуются тем свойством, что во всякой цепи точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы. И наоборот: узлы цепи можно разделить, если после этого потенциалы точек, входящих в узел, не изменятся.

В методической литературе часто пишут так: если схема содержит проводники с одинаковыми сопротивлениями, расположенными симметрично относительно какой-либо оси или плоскости симметрии, то точки этих проводников, симметричные относительно этой оси или плоскости, имеют одинаковый потенциал. Но вся сложность в том, что такую ось или плоскость никто на схеме не обозначает и отыскать её непросто.

Предлагаю другой, упрощённый способ решения подобных задач.

Задача 1 . Проволочный кубик (рис. 1) включён в цепь между точками А к В.

Найдите его общее сопротивление, если сопротивление каждого ребра равно R.

Поставим кубик на ребро АВ (рис. 2) и "распилим" его на две параллельные половинки плоскостью АА 1 B 1 В , проходящей через нижнее и верхнее ребро.

Рассмотрим правую половинку куба. Учтём, что нижнее и верхнее ребро расщепились пополам и стали в 2 раза тоньше, а их сопротивления увеличились в 2 раза и стали по 2R (рис. 3).

1) Находим сопротивление R 1 трёх верхних проводников, соединённых последовательно:

4) Находим общее сопротивление этой половинки куба (рис. 6):

Находим общее сопротивление куба:

Получилось сравнительно просто, понятно и доступно для всех.

Задача 2 . Проволочный кубик подключён в цепь не ребром, а диагональю АС любой грани. Найдите его общее сопротивление, если сопротивление каждого ребра равно R (рис. 7).

Снова ставим кубик на ребро АВ. "Распиливаем" кубик на две параллельные половинки той же вертикальной плоскостью (см. рис. 2).

Опять рассматриваем правую половинку проволочного куба. Учитываем, что верхнее и нижнее ребро расщепились пополам и их сопротивления стали по 2R .

С учётом условия задачи имеем следующее соединение (рис. 8).

9 класс

Электроны влетают в плоский конденсатор длиной L под углом а к плоскости пластин, а вылетают под углом β. Определите начальную кинетическую энергию электронов, если напряженность поля конденсатора равна E.

Сопротивление любого ребра проволочного каркаса куба равно R. Найдите сопротивление между наиболее удаленными друг от друга вершинами куба.

При длительном пропускании тока 1,4 А через проволоку последняя нагрелась до 55°С, а при силе тока 2,8 А - до 160 °С. До какой температуры нагревается проволока при силе тока 5,6А? Сопротивление проволоки не зависит от температуры. Температура окружающего воздуха постоянна. Теплоотдача прямо пропорциональна разности температур проволоки и воздуха.

Свинцовая проволока диаметром d плавится при длительном пропускании тока I1, При каком токе расплавится проволока диаметром 2d? Потери теплоты проволокой в обоих случаях считать пропорциональными поверхности проволоки.

Какое количество теплоты выделится в схеме после размыкания ключа K? Параметры схемы показаны на рисунке.

Электрон влетает в однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к направлению его движения. Скорость электрона v = 4·107 м/с. Индукция магнитного поля B = 1 мТл. Найти тангенциальное aτ и нормальное an ускорения электрона в магнитном поле.

В цепи, изображенной на рисунке тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при замкнутом и разомкнутом ключе K. Определите внутреннее сопротивление батареи r, если R1 = 12 Ом, R2 = 4 Ом.

Две частицы, имеющие отношение зарядов q1/q2 = 2 и отношение масс m1/m2 = 4, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям с отношением радиусов R1/R2 = 2. Определите отношение кинетических энергий W1/W2 этих частиц.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400 пФ и катушки индуктивностью L = 10 мГн. Найти амплитуду колебаний силы тока Im, если амплитуда колебаний напряжения Um = 500 В.

Через какое время (в долях периода t/T) на конденсаторе колебательного контура впервые будет заряд, равный половине амплитудного значения? (зависимость заряда на конденсаторе от времени задана уравнением q = qm cos ω0t)

Сколько электронов вылетает с поверхности катода за 1 с при токе насыщения 12 мА? q = 1,6·10-19 Кл.

Сила тока в цепи электрической плитки равна 1,4 А. Какой электрический заряд проходит через поперечное сечение ее спирали за 10 мин?

Определите площадь поперечного сечения и длину медного проводника, если его сопротивление 0,2 Ом, а масса 0,2 кг. Плотность меди 8900 кг/м3, удельное сопротивление 1,7*10-8 Ом*м.

На рисунке участка цепи АВ напряжение 12 В, сопротивления R1 и R2 равны соответственно 2 Ом и 23 Ом, сопротивление вольтметра 125 Ом. Определите показания вольтметра.

Определить величину сопротивления шунта амперметра для расширения пределов измерения тока с 10 миллиампер(I1) до 10 Ампер(I). Внутреннее сопротивление амперметра равно 100 Ом(R1).

Какая тепловая мощность выделяется в резисторе R1 в цепи, схема которой показана на рисунке, если амперметр показывает силу постоянного тока I = 0,4 А? Значения сопротивлений резисторов: R1 = 5 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 20 Ом. Амперметр считать идеальным.

Два одинаковых металлических маленьких шарика заряжены так, что заряд одного из них в 5 раз больше заряда другого. Шарики привели в соприкосновение и раздвинули на прежнее расстояние. Во сколько раз изменилась по модулю сила их взаимодействия, если: а) шарики заряжены одноименно; б) шарики заряжены разноименно?

Длина цилиндрического медного провода в 10 раз больше, чем длина алюминиевого, а их массы одинаковы. Найдите отношение сопротивлений этих проводников.

Проволочное кольцо включено в цепь, по которой проходит ток 9 A. Контакты делят длину кольца в отношении 1:2. При этом в кольце выделяется мощность 108 Вт. Какая мощность при той же силе тока во внешней цепи будет выделяться в кольце, если контакты разместить по диаметру кольца?

Два шарика одинакового объёма, обладающие массой 0,6 ∙ 10 -3 г каждый, подвешены на шелковых нитях длиной 0,4 м так, что их поверхности соприкасаются. Угол, на который разошлись нити при сообщении шарикам одинаковых зарядов, равен 60°. Найти величину зарядов и силу электрического отталкивания.

Два одинаковых шарика, заряженные один отрицательным зарядом—1,5 мкКл, другой положительным 25 мкКл, приводят в соприкосновение и вновь раздвигают на расстояние 5 см. Определите заряд каждого шарика после соприкосновения и силу их взаимодействия.

Электрическое сопротивление куба

Дан каркас в виде куба, изготовленный из металлической проволоки. Электрическое сопротивление каждого ребра куба равно одному Ому. Чему равно сопротивление куба при прохождении электрического тока от одной вершины к другое, если он подключен к источнику постоянного тока как это показано на рисунке?

Считаем сопротивление схемы по формулам для параллельного и последовательного подключения сопротивлений, получаем ответ - электрическое сопротивление куба равно 5/6 Ом.

Интересные факты про задачу про сопротивление куба резисторов

1. Решение задачки про сопротивление куба в общем виде можно прочитать на сайте журнала Квант или посмотреть здесь: "В конце сороковых годов в математических кружках Москвы появилась задача об электрическом сопротивлении проволочного куба. Кто ее придумал или нашел в старых учебниках мы не знаем. Задача была очень популярной, и о ней быстро узнали все. Очень скоро ее стали задавать на экзаменах и она стала...

0 0

Рассмотрим классическую задачу. Дан куб, рёбра которого представляют собой проводники с каким-то одинаковым сопротивлением. Этот куб включается в электрическую цепь между всевозможными его точками. Вопрос: чему равно сопротивление куба в каждом из этих случаев? В данной статье репетитор по физике и математике рассказывает о том, как решается эта классическая задача. Присутствует также видеоурок, в котором вы найдёте не только подробное объяснение решения задачи, но и реальную физическую демонстрацию, подтверждающую все вычисления.

Итак, куб может быть включен в цепь тремя различными способами.

Сопротивление куба между противоположными вершинами

В этом случае ток, дойдя до точки A, распределяется между тремя рёбрами куба. При этом, поскольку все три ребра эквивалентны с точки зрения симметрии, ни одному из рёбер нельзя придать большую или меньшую «значимость». Поэтому ток между этими рёбрами должен распределиться обязательно поровну. То есть сила...

0 0

Странно..
Вы ведь сами ответили на свой вопрос..
- Спаять и "подключив щупы омметра к двум точкам, через которые проходит главная диагональ куба" "его измерять"

Прилагается рисунок: --
Достаточно простых рассуждений. Хватит школьных знаний по физике. Геометрия здесь не нужна, поэтому перенесём куб на плоскость и для начала отметим характерные точки.

Прилагается рисунок: --
Все же лучше приводить логику рассуждений, а не просто цифры наугад. Тем не менее не угадали!
Предлагаю поискать оригинальные способы решения.Угадали, но как решили? Ответ абсолютно верный и можно тему закрывать. Единственное что, решать так задачу можно не только для одинаковых R. Просто, если...

0 0

Позволю себе прокомментировать утверждение Учителя

Пусть к противоположным рёбрам куба A и C" приложено напряжение U, в результате чего на внешнем по отношению к кубу участку цепи течёт ток I.

На рисунке изображены токи, текущие по граням куба. Из соображений симметрии видно, что токи, текущие по гранямAB, AA" и AD, равны - обозначим этот ток I1; точно так же получаем, что токи по гранямDC, DD", BC, BB", A"B", A"D" равны (I2)l; токи по гранфм CC", B"C" и D"C" также равны (I3).

Записываем законы Кирхгофа (например, для узлов A, B, C, C"):
{ I = 3I1
{ I1 = 2I2
{ 2I2 = I3
{ 3I3 = I

Отсюда получаем I1= I3 = I/3; I2 = I/6

Пусть общее сопротивление куба равно r; тогда по закону Ома
(1) U = Ir.
С другой стороны, при обходе контура ABCC" получаем, что
(2) U = (I1 + I2 + I3)R

Из сравнения (1) и (2) имеем:
r = R*(I1 + I2 + I3)/I = R*(1/3 + 1/6 + 1/3) =...

0 0

Студенты? Это школьные задачи. Закон Ома, последовательное и параллельное соединения сопротивлений, задача про три сопротивления и сразу эти.

Конечно, я не учел аудиторию сайта, где большая часть участников не только решает с удовольствием задачки, но и сама готовит задания. И, конечно, знает про классические задачки возрастом не менее 50 лет (я их решал из сборника более старого чем первое издание Иродова - 1979 год, как я понимаю).

Но все таки странно слышать, что "задачки не олимпиадные". ИМХО, "олимипиадность" задач определяется не столько и даже не столько сложностью, а во многом тем, что при решении надо (о чем то) догадаться, после чего задача из очень сложной становится очень простой.

Средний студент напишет систему из уравнений Киргофа и решит её. И никто ему не докажет, что решение неверное.
Сообразительный школьник догадается о симметрии и решит задачки быстрее среднего студента.
P.S. Впрочем, "средние студенты" тоже разные бывают.
P.P.S....

0 0

Использовать универсальные математические пакеты - неразумно при наличии программ анализа схем. Результаты можно получать и в численном виде и в аналитическом (для линейных схем).
Попробую привести алгоритм вывода формулы (R_екв=3/4 R)
Разрезаем куб на 2 части по диагоналям горизонтальных граней плоскостью, проходящей через заданные точки. Получаем 2 половины куба с сопротивлением, равным удвоенному искомому сопротивлению (проводимость половину куба равна половине искомой проводимости). Там, где секущая плоскость пересекает ребра, их проводимости делим пополам (сопротивления удваиваем). Разворачиваем половинку куба. Получаем затем схему с двумя внутреннеми узлами. Заменяем один треугольник на одну звезду, благо числа целые. Ну а дальше елементарная арифметика. Может быть возможно и еще проще решить, гложат смутные сомнения...
PS. В Маппл и/или Сироп можно получить формулу для любых сопротивлений, но глядя на эту формулу вы поймете, что только компьютер захочет с ней...

0 0

Смешные цитаты

xxx: Да! ДА! Быстрее, ещё быстрее! Я хочу сразу два, нет, три! И этот тоже! О, да-а-а!
yyy: ... мужик, ты чего это там?
xxx: Наконец-то безлимит, качаю торренты:D

type_2: интересно, а если ему туда литой чугунный кубик засунуть, раскрашенный в кубик–рубика? :)

Обсуждение робота из лего, собирающего кубик рубика за 6 секунд.
type_2: интересно а если ему туда литой чугунный кубик засунуть раскрашенный в кубик–рубика? :)
punky: угадайте страну по комментариям...

xxx: померил труселя новые?
yyy: Неа)
yyy: Завтра...

0 0

Решение задач на расчет электрического сопротивления с помощью моделей

Разделы: Физика

Цели: обучающая: систематизировать знания и умения учащихся решать задачи ан расчет эквивалентных сопротивлений с помощью моделей, каркасов и т.д.

Развивающая: развитие навыков логического мышления абстрактного мышления, умений заменять схемы эквивалентности, упрощать расчет схем.

Воспитательная: воспитание чувства ответственности, самостоятельности, необходимости навыков приобретенных на уроке в будущем

Оборудование: проволочный каркас куба, тетраэдера, сетки бесконечной цепочки сопротивлений.

ХОД УРОКА

Актуализация:

1. Учитель: “Вспомним последовательное соединение сопротивлений”.

Учащиеся на доске зарисовывают схему.

и записывают

Учитель: вспомним параллельное соединение сопротивлений.

Учащийся на доске зарисовывает элементарную...

0 0

Разделы: Физика

Цели: обучающая : систематизировать знания и умения учащихся решать задачи ан расчет эквивалентных сопротивлений с помощью моделей, каркасов и т.д.

Развивающая: развитие навыков логического мышления абстрактного мышления, умений заменять схемы эквивалентности, упрощать расчет схем.

Воспитательная: воспитание чувства ответственности, самостоятельности, необходимости навыков приобретенных на уроке в будущем

Оборудование: проволочный каркас куба, тетраэдера, сетки бесконечной цепочки сопротивлений.

ХОД УРОКА

Актуализация:

1. Учитель: “Вспомним последовательное соединение сопротивлений”.

Учащиеся на доске зарисовывают схему.

и записывают

U об =U 1 +U 2

Y об =Y 1 =Y 2

Учитель: вспомним параллельное соединение сопротивлений.

Учащийся на доске зарисовывает элементарную схему:

Y об =Y 1 =Y 2

; для для n равных

Учитель: А теперь будем решать задачи на расчет эквивалентного сопротивления участок цепи представлен в виде геометрической фигуры, либо металлической сетки.

Задача № 1

Проволочный каркас в виде куба, рёбра которого представляют равные сопротивления R. Рассчитать эквивалентное сопротивление между точками А и В. Чтобы рассчитать эквивалентное сопротивление данного каркаса необходимо заменить эквивалентной схемой. Точки 1, 2, 3 имеют одинаковый потенциал, их можно соединить в один узел. А точки (вершины) куба 4, 5, 6 можно соединить в другой узел по той же причине. Учащиеся имеют на каждой парте такую модель. После выполнения описанных действий зарисовывают эквивалентную схему.

На участке АС эквивалентное сопротивление ; на СD ; на DB ; и окончательно для последовательного соединения сопротивлений имеем:

По тому же принципу потенциалы точек А и 6 равны, В и 3 равны. Учащиеся совмещают эти точки на своей модели и получают эквивалентную схему:

Расчёт эквивалентного сопротивления такой цепи прост

Задача № 3

Эта же модель куба, с включением в цепь между точками 2 и В. Учащиеся соединяют точки с равными потенциалами 1 и 3; 6 и 4. Тогда схема будет выглядеть так:

Точки 1,3 и 6,4 имеют равные потенциалы, и ток по сопротивлениям между этими точками не потечёт и схема упрощается до вида; эквивалентное сопротивление которой рассчитывается так:

Задача № 4

Равносторонняя треугольная пирамида, ребро которой имеет сопротивление R. Рассчитать эквивалентное сопротивление при включении в цепь.

Точки 3 и 4 имеют равный потенциал, поэтому по ребру 3,4 ток не потечёт. Учащиеся убирают его.

Тогда схема будет выглядеть так:

Эквивалентное сопротивление рассчитывается так:

Задача № 5

Металлическая сетка с сопротивлением звена равном R. Рассчитать эквивалентное сопротивление между точками 1 и 2.

В точке 0 можно звенья отделить, тогда схема будет иметь вид:

- сопротивление одной половины симметричной по 1-2 точкам. Параллельно ей такая же ветвь, поэтому

Задача № 6

Звезда состоит из 5-и равносторонних треугольников, сопротивление каждого.

Между точками 1 и 2 один треугольник параллелен четырём, последовательно соединенным между собой

Имея опыт расчёта эквивалентного сопротивления проволочных каркасов можно приступить к расчету сопротивлений цепи, содержащий бесконечное число сопротивлений. Например:

Если отделить звено

от общей схемы, то схема не изменится, тогда можно представить ввиде

или ,

решаем данное уравнение относительно R экв.

Итог урока: мы научились абстрактно представлять схемы участков цепи, заменять их эквивалентными схемами, которые позволяют легко рассчитать эквивалентное сопротивление.

Указание: Эту модель представить в виде: